本文摘要：摘要：【目的】通过非线性和多种机器学习算法构建并对比不同的立木材积模型，为樟子松立木材积的精准预测提供理论依据。【方法】以大兴安岭图强林业局184株樟子松伐倒木数据为例，建立非线性二元材积模型(NLR)，并通过K折交叉检验和oob误差检验的方法得到三种最优机器
摘要：【目的】通过非线性和多种机器学习算法构建并对比不同的立木材积模型，为樟子松立木材积的精准预测提供理论依据。【方法】以大兴安岭图强林业局184株樟子松伐倒木数据为例，建立非线性二元材积模型(NLR)，并通过K折交叉检验和oob误差检验的方法得到三种最优机器学习算法，包括：反向传播神经网络(BP)、ε-支持向量回归(ε-SVR)和随机森林(RF)。对比分析不同模型间的差异，得到最优立木材积模型。【结果】研究表明，机器学习算法在立木材积的拟合和预测中均优于传统二元材积模型，具体排序为RF>BP>ε-SVR>NLR。其中RF相比于传统模型的确定系数(R2)提高了2.00%，均方根误差(RMSE)、相对均方根误差(RMSE%)、平均绝对误差(MAE)分别降低了22.95%、22.93%、36.34%，且与真实值相比平均相对误差(MRB)的绝对值更低，由此证明了RF在立木材积预测中的优越性。【结论】机器学习算法作为一种新兴的建模方法可以有效地提高立木材积的预测精度，为森林资源的精准调查和经营管理提供新的解决方案。
关键词：樟子松;二元材积模型;BP神经网络;ε-支持向量回归;随机森林
立木材积是森林资源调查的重要指标，也是是计算森林蓄积量和生物量的主要依据[1-4]。因此，在森林经营管理中，为更好的评经济效益和生态效益，立木材积的研究一直以来都被受关注。传统立木材积的计算通常利用已知的一元或多元立木材积表，或通过拟圆锥法、质心法、重要性采样法等进行估测[5-6]。随着人们对森林资源调查的不断深入，针对不同地区不同树种相继建立了不同类型的材积模型[7-8]。
但森林生长是一个复杂连续且具有随机性的非线性生长过程，通过拟合立木材积模型虽然能填补材积预测的空白，却受制于模型和变量的选择以及对模型先验知识的累积，且预测精度受区域变化影响较大，增加了森林资源调查和经营管理的难度。机器学习算法理论始于20世纪中叶，相比于传统模型，机器学习算法可以在没有先验知识的前提下对数据进行拟合，分析数据中不同变量之间复杂、动态的内部结构[9]，而且机器学习算法的适用性更广，应用更加方便。能很好的克服数据中可能存在的缺失点、噪音、多重共线性和异方差等现象[10]，在生物遗传、信息技术和金融工程等领域已被广泛应用。近年来随着统计软件技术的发展，机器学习算法在林业上也得到了一定的应用。
Guan等[11]通过胸径及其年增长量建立4种人工神经网络模型，成功的对红松的生存率进行了预测;Maria[12]通过人工神经网络模型估算树皮材积，发现相比于非线性模型的RMSE降低了6.02%;Diamantopoulou等[13]通过对比分析不同的非线性模型和ε-支持向量机回归模型对4种黑凯木树皮材积的预测，得出ε-支持向量机回归模型的FI值分别比3种非线性模型降低了3.32%、9.73%和12.23%，且与真实值更接近。Colin等[14]结合LiDAR数据建立多个模型对森林生物量进行估算，结果表明支持向量机回归为最优模型。目前，已有部分机器学习算法应用于立木材积中[15-19]，但鲜有对不同类型算法同时进行对比和分析的研究。
本文以大兴安岭樟子松(Pinussylvestrisvar.mongolica)为研究对象，利用matlab2019b建立3种目前应用较为广泛的机器学习算法：反向神经网络模型(BackPropagation，BP)、ε-支持向量机回归模型(ε-SupportVectorRegression，ε-SVR)和随机森林模型(RandomForest，RF)，并与传统二元材积模型作对比，评价最优模型，为提高樟子松的立木材积预测精度和科学经营提供理论依据。
1数据和方法
1.1数据来源
本文数据来源于大兴安岭图强林业局(122°18′28″~123°28′10″E，52°15′35″~53°33′42″N)的樟子松数据。将树木伐倒后测量其带皮胸径、树高，并用15个相对树高的带皮直径(0%、2%、4%、6%、8%、10%、15%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%)，利用区分求积法计算樟子松带皮立木材积。
通过散点图排除异常点后得到184株样木，以5cm为一个径级分为10个径阶，按7:3分径阶随机抽样。最终得到训练样本129株、测试样本55株。为消除不同量级的变量对模型权重的影响，避免数值范围超出算法的训练区间，同时加快网络的收敛速度。建模前对样本数据进行min-max标准归一化处理，使其统一介于[0,1]之间。得到的泛化结果通过反归一化还原，并与真实值对比和评价。
1.2方法
1.2.1二元材积模型
传统立木材积方程包括一元、多元线性和非线性模型，本文采用林业上应用较为广泛的二元非线性模型(Non-linearregressionmodels，NLR)作为立木材积公式[20-21]。
1.2.2反向神经网络模型(BackPropagation，BP)
BP是由输入层、隐含层和输出层组成的反向传播网络模型，不同层通过神经元相互连接，但相同层神经元互不相连。通过激活函数将上一层的输入转化为下一层的输出，如输出结果超出期望误差，则通过误差逆向传播算法修正各神经元函数的权值和阈值，并不断重复上述过程以达到降低误差的目的[22]。经研究表明，三层BP神经网络即可拟合任何非线性曲线。本文以胸径D、树高H作为输入节点，材积V作为输出节点，建立结构为2:S:1的三层神经网络模型。其中隐含层激活函数选用tansig，输出层激活函数选用purelin函数。
利用经验公式Sabc(式中为隐含层神经元个数，分别为输入层和输出层节点数，为1到10之间的整数)可得隐含层神经元个数在3~12之间。通过适当更改隐含层训练算法和神经元个数可以有效的提高网络拟合的速度和精度[23]，并用提前结束训练的方法防止模型过拟合。
本文选用目前较为常用的几种训练算法，包括梯度下降算法：变学习率动量梯度下降算法(GDX)、变学习率梯度下降算法(GDA)、弹性梯度下降算法(RP);共轭梯度算法：PowellBeale共轭梯度算法(CGB)、Fletcher-Reeves共轭梯度法(CGF)、Polak-Ribiere共轭梯度法(CGP)、Scaled共轭梯度算法(SCG);拟牛顿及其他优化算法：拟牛顿算法(BFG)、一步正割算法(OSS)、Levenberg-Marquardt算法(LM)。
1.2.3ε-支持向量回归模型
(ε-SupportVectorRegression，ε-SVR)ε-SVR是一种基于结构风险最小化原理的超平面模型。通过核函数将低维空间中难以区分的向量通过非线性变换映射至高维空间中使其线性可分，借助惩罚因子C和核参数gamma降低数据与超平面之间的残差，以达到提高模型精度的目的[17]。
因此改变核函数类型以及C、gamma参数可以有效降低误差，得到最优ε-SVR模型。常用的核函数方法包括线性核函数(Line)、多项式核函数(Polynomial)、径向基核函数(RBF)等。其中C、gamma参数通常选用网格搜寻法，即设定两个参数的范围，按一定步长进行组合建模。但是这种方法费时费力且精度不高，因此本文选用遗传算法(GeneticAlgorithm，GA)进行参数寻优。
GA是一种通过模拟物种进化过程研发的一种全局搜索优化算法。通过生成一个初始群体并对数据进行编码、选择、杂交、变异，不断生成新的组合，计算每个组合的适应度，通过“优胜劣汰”的方法不断筛选最优个体，并以适应度达到最大时的结果作为最优参数，并以K折交叉检验对参数的解释能力进行评估。综上所述，GA是一种通用性很强的参数寻优方法，在机器学习中也有着广泛的应用[24]。
1.2.4随机森林回归模型(RandomForest，RF)
RF是一种基于bagging回归的集成学习算法。通过对样本数据进行随机且有放回重复采样得到多个样本组合，并通过节点分裂和随机特征变量的随机抽取形成多个决策树形成“森林”，对每个决策树得到的结果进行加权平均，作为样本的回归结果[25]。由于每次采样中总有大约三分之一的样本未被选用，它们被称为袋外数据(out-of-bag，oob)。
因此可利用这部分数据计算袋外错误率(out-of-bagerror)代替交叉检验作为验证模型泛化能力的标准，使得随机森林可以有效的避免过拟合现象[26]。本文通过控制变量的方法对决策树个数(ntree)、最小叶子大小(minleaf)、随机抽取变量个数(mtry)3个参数进行寻优，以得到最优的RF模型。其他参数均选用软件默认设置。
1.3模型评价与检验指标
本文选用确定系数(R2)、平均绝对误差(MAE)、均方根误差(RMSE)、相对均方根误差(RMSE%)评价模型拟合和预测的能力，并通过平均相对误差(MRB)检验模型预测偏差的大小。为评价模型的无偏估计能力，选用z检验判断模型泛化结果与真实值是否存在显著差异[19]。
2结果与分析
2.1NLR模型
通过最小二乘法得到3个参数分别为503.706010、11.5126、21.5662。最终二元材积表达式为51.51261.5662VDH3.706010。
2.2BP模型
通过胸径D、树高H和材积V建立三层BP模型，采用10折交叉检验的方法对训练样本分别进行算法优选和神经元参数寻优。为保证不同算法在统一标准下对比分析，模型的其他参数统一设置如下：隐含层神经元个数为8、最大训练次数为2000、训练目标误差为0.00001、学习速率为0.05、动量为0.9，其余参数均采用软件默认数值，并采取提前终止的办法防止模型过拟合。
可以看出在3种梯度下降算法中RP算法的4个评价指标均明显由于其他两种。通过比较可以看出4种共轭梯度算法的精度总体差距不大，其中CGF算法的R2略高于其他三者，但在RMSE、RMSE%、MAE的表现不如CGB算法，拟合误差相对较大。
在其他三种优化算法中LM算法无论在拟合优度和误差检验均为最佳，相比于其他算法R2提高1.13%~5.26%，RMSE降低13.12%~39.81%，RMSE%降低17.41%~42.46%，MAE降低14.97%~45.94%。因此将LM算法作为BP模型的训练算法。根据经验公式计算可得隐含层神经元个数在3~12之间，通过试错法依次建模比较，在隐含层神经元个数为7时模型R2最高且RMSE最低。综上所述，最优BP模型为LM-DH-7-V。
2.3ε-SVR模型
ε-SVR通过核函数将数据映射至高维空间中，寻找样本期望风险最小的最优超平面实现线性回归。本文采用遗传算法对三种常见的核函数：线性核函数(Line)、多项式核函数(Polynomial)、径向基核函数(RBF)进行参数寻优，具体参数设置如下：最大进化数为200，种群进化数量为20、变异值为0.9、不敏感损失参数p=0.01、惩罚因子C搜索范围(0，30)、核参数gamma搜索范围(0，10)，并通过10折交叉检验得到3组最优的模型参数。
可以看出精度最高的核函数是RBF，其次是Polynomial和Line核函数。相比于前两者R2分别提高1.8%和11.11%，RMSE降低21.46%和52.82%，RMSE%降低21.44%和52.83%，MAE降低31.69%和59.02%，由此可见RBF不仅可以提高拟合能力，更能很好的降低误差，故选用RBF作为ε-SVR模型的核函数并建立模型。
2.4RF模型
RF是通过构建多个决策树(ntree)随机选取不同的变量(mtry)，并以每个决策树最小叶子节点(minleaf)均值作为模型最后回归的结果，因此参数的大小直接影响模型拟合的精度。经研究发现，模型误差大小随ntree增加而逐渐减少至某一定值后，便不再发生变化。因此为确保模型充分训练，预设ntree个数为2000。采用控制变量的方法测定最优minleaf的数量，在默认mtry值下对比minleaf为1、3、5、10、20时的oob误差值。可以看出随着minleaf值逐渐减小，模型的误差也逐渐减小，因此得出最优的minleaf值为1。
当ntree大于100后，oob误差基本不再下降，意味着在建立100颗决策树后模型已完成了训练。为缩短训练时间，提高模型运行的效率，故将ntree的值调整为100。由于模型的输入变量只有2个，故mtry的取值范围为[1,2]，调整参数后对不同mtry值重新建立模型，两条误差曲线随着ntree的提高最终重叠在一起，说明改变mtry值不会对模型误差产生影响。但是在拟合过程中可以看出，当mtry=2时模型收敛速度明显优于mtry=1，故mtry值设置为2。
2.5模型评价与检验
选用最优参数对训练样本建模，并用测试样本验证模型的预测能力。机器学习算法无论在拟合和预测中均明显优于传统的二元材积模型，且机器学习算法中训练样本与测试样本的精度差异不大，证明模型并未发生过拟合现象。通过训练样本得到的拟合评价结果可以看出，4种模型的R2均高于0.96，且RMSE均低于0.12m3，说明模型都具备较好的拟合能力。其中RF模型表现最好，相比于NLR、BP、ε-SVR，R2分别提高3.43%、2.05%、2.45%，RMSE降低67.30%、59.40%、62.31%，RMSE%降低67.29%、59.38%、62.28%，MAE降低71.48%、60.96%、59.52%。
通过计算MRB可以看出，所有模型的拟合结果均略高于真实值，其中RF模型的偏差最小。对4种模型的拟合评价作对比，除在MAE中ε-SVR略优于BP模型，其余检验均满足RF>BP>ε-SVR>NLR。根据已建立的模型对对测试样本预测，可以看出4种模型都有较好的预测能力，R2均高于0.95，RMSE均低于0.12，且与拟合结果同样具有RF>BP>ε-SVR>NLR的模型精度次序。相比于其余三者，RF的R2分别提高2.00%、0.98%、1.23%，RMSE降低22.95%、13.49%、16.15%，RMSE%降低22.93%、15.53%、19.19%，MAE降低36.34%、22.10%、22.31%。
NLR与BP的预测结果略高于真实值，ε-SVR与RF的预测结果略低于真实值，通过比较MRB绝对值可知二元材积模型的预测偏差最大，RF模型偏差最小。为客观评价模型的无偏估计能力，故对模型的拟合和预测结果进行置信度为95%的z检验，以验证泛化结果与真实值的分布是否一致。可以看出4种模型的p值均远大于0.05，故接受H0保留原假设，即结果与真实值不存在显著差异。综上所述，RF为最优的大兴安岭樟子松立木材积预测模型。
3结论与讨论
本文利用大兴安岭184株樟子松单木材积数据建立传统二元材积模型，并与3种常见的机器学习算法进行对比。研究结果表明，机器学习算法可以更好的预测大兴安岭樟子松材积。通过对测试样本的预测结果对比分析中可以看出，预测精度大小排序为RF>BP>ε-SVR>NLR。其中，RF模型的预测精度最高，相比于传统模型，RF的R2提高2.00%、RMSE降低22.95%、RMSE%降低22.93%、MAE降低36.34%，且与真实值相比偏差更低。
通过减少训练样本后重新建模，RF模型精度仍高于传统模型，由此可以看出RF模型在樟子松立木材积预测中的优越性。其余2种机器学习算法中，BP虽略优于ε-SVR但与RF模型仍有较大差距。这是因为BP模型所选用的LM算法与ε-SVR更适用于中小样本[27-28]，而建模所选用的样本数量相对较大，此时RF模型在大样本中的适应性优势才被凸显出来。但RF模型同样存在一定的缺点，在处理噪声较大或小样本中易发生过拟合现象[9]，因此在面对此类问题时应先对数据做预处理，避免对模型精度造成影响。
与机器学习算法相比，传统模型虽然可以通过建立回归方程的方式清晰地表达不同变量间相互影响的关系，但通常需要满足很多检验条件作为假设前提，例如正态性检验、独立性检验、异方差检验等，因此不能同时解释复杂的森林生长因子，且不容易对含有噪声的大尺度数据进行拟合，随着近年来科学技术的发展，机器学习算法的出现很好地解决了传统模型的问题。
在其他立木材积的研究中也证明了本研究的结果。Diamantopoulou等[15]和Bhering等[19]发现不同神经网络模型估算立木材积的精度均高于传统的线性或非线性模型，Mushar等[18]在对比不同的机器学习算法与传统模型后发现神经网络模型的精度在分类树种材积比较中精度最高，而在全部类型树种材积比较中支持向量机最高。
Wu等[17]运用LiDAR数据对立木材积进行估算，得出3中机器学习模型精度均高于传统模型的结论，其中支持向量机精度高于随机森林，这与本文研究结论略有差异。虽然机器学习算法目前仍存在一些问题，比如参数寻优没有统一的标准、无法掌握数据在黑箱中运行的过程、易产生过拟合现象[11,29]等，但关于机器学习算法的研究还有广阔的进步空间。总而言之，机器学习算法作为一种新兴的建模方法，在大兴安岭樟子松立木材积的预测中相比于传统的二元材积模型有着明显的优势，在森林经营管理中是一种有效的替代方案。
参考文献
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作者：孙铭辰，姜立春
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